Máy tính tích phân ba lớp

Máy tính thực sự đánh giá gì

Đây là máy tính số, không phải bộ lấy tích phân ký hiệu. Nó không tìm nguyên hàm và không suy ra cận mới cho tọa độ cầu hoặc tọa độ trụ. Nếu miền của bạn là quả cầu, hình nón hoặc một khối cong khác, trước hết hãy viết lại bài toán thành cận và hàm dưới dấu tích phân mà phương pháp điểm giữa hình hộp này có thể lấy mẫu, hoặc dùng quy trình ký hiệu cho tích phân ba lớp.

Cách dùng phổ biến

• Kiểm tra thể tích: dùng f(x,y,z) = 1 trên một hình hộp để xác nhận thể tích.
• Ước lượng khối lượng: nhập hàm mật độ ρ(x,y,z) và tích phân trên các cận số.
• Giá trị trung bình: chia ước lượng tích phân cho thể tích của hình hộp.
• Kiểm chứng số: so sánh đáp án tự suy ra hoặc trong sách với một ước lượng tính nhanh.

Hệ tọa độ và phần tử thể tích

Giao diện chỉ nhận các khoảng số cho x, y và z. Ý tưởng về hệ tọa độ vẫn hữu ích khi thiết lập bài toán, nhưng biểu thức cuối cùng bạn nhập phải khớp với biến và cận mà máy tính lấy mẫu.

Ví dụ kiểm tra: khối lập phương đơn vị

Với khối lập phương đơn vị và f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125

Đây là dữ liệu thử tốt vì cận là hình hộp chữ nhật và đáp án kỳ vọng rất đơn giản. Nếu kết quả số cách xa 0,125, hãy tăng số bước hoặc kiểm tra cú pháp biểu thức.

Mẹo về độ chính xác

Quy tắc điểm giữa thường tốt hơn khi tăng số bước, nhưng vẫn chỉ là xấp xỉ. Hàm trơn trên hình hộp chữ nhật cho kết quả ổn nhất. Hàm gián đoạn, điểm kỳ dị, đỉnh rất hẹp hoặc miền thực ra không có dạng hộp có thể tạo ra giá trị gây hiểu nhầm nếu bài toán không được viết lại cẩn thận.