Bộ máy tính tích phân ba chiều

Ba hệ tọa độ là gì

Việc sử dụng hệ tọa độ không phù hợp có thể biến một tích phân đơn giản thành một bài toán phức tạp nghiêm trọng. Một khối cầu với bán kính 1 khi tích phân trong hệ Descartes sẽ có các giới hạn dạng √(1 − x² − y²) khá phức tạp; trong hệ cầu thì giới hạn này là ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ – rõ ràng và dễ phân tích.

Các vấn đề phổ biến

• Khối lượng: ∭ρ(x,y,z) dV, trong đó ρ là mật độ. – Trung tâm khối lượng: ∭x ρ dV / tổng khối lượng; nguyên lý tương tự áp dụng cho y và z.
• Động lượng quán tính: ∭r²ρ dV quanh một trục được chọn.
• Thể tích: ∭1 dV — hàm dưới dấu tích phân là 1, do đó chỉ cần tính thể tích của vùng đó.

Thay đổi thứ tự tích phân

Đối với một vùng mà giới hạn bên trong không thể được biểu diễn rõ ràng dưới dạng hàm của biến bên ngoài, việc đảo thứ tự các thành phần thường rất hữu ích. Vẽ sơ đồ vùng đó, chiếu lên mặt phẳng nội - ngoại mong muốn, sau đó suy ra lại các giới hạn tương ứng.

Ví dụ minh họa: thể tích của một hình cầu

Trong tọa độ cầu, quả cầu đơn vị {x² + y² + z² ≤ 1}:

V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
  = ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
  = ∫₀²π (2/3) dθ
  = 4π/3

Biểu thức nổi tiếng V = (4/3)πr³ được loại bỏ một cách rõ ràng qua ba bước – trong hệ tọa độ Descartes, cùng một tích phân lại chiếm nhiều trang sách.

Phương án dự phòng số học

Một số tích phân không có hàm ngược có dạng đóng. Khi phép tích phân ký hiệu thất bại, máy tính sẽ chuyển sang phương pháp tích phân số và trả về giá trị xấp xỉ kèm theo ước lượng sai số.