Bộ tính tích phân
Nhập một biểu thức vào x (hoặc bất kỳ biến nào), máy tính sẽ trả về đạo hàm ngược ký hiệu hoặc giá trị số trong một khoảng xác định. Nền tảng này hỗ trợ các hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và hàm hữu tỉ, cùng với các phép thay thế thông dụng và phương pháp tích phân từng phần – các bước thực hiện sẽ được hiển thị nếu bạn cần kiểm tra kết quả tính toán.
Cách đánh giá một tích phân
-
1
Nhập hàm dưới dấu tích phân
Hãy viết hàm dưới dạng `x^2 + 3*sin(x)` hoặc `1 / (x^2 + 1)`. Các phép nhân được thực hiện ngầm với khoảng trắng là được chấp nhận.
-
2
Chọn xác định hoặc không xác định
Đối với một tích phân xác định, hãy thiết lập các giới hạn dưới và trên (các giá trị hỗ trợ là `inf` và `-inf`).
-
3
Tính toán
Công cụ trước tiên thử tìm nghiệm giải biểu tượng; nếu không thành công, nó sẽ chuyển sang phương pháp tích phân số học.
-
4
Đọc các bước thực hiện
Phương pháp mở rộng từng bước (tùy chọn) thể hiện việc thay thế, tích phân theo các phần hoặc phân tích thành các phân thức riêng biệt.
Các chất chống vi khuẩn phổ biến
| f(x) | Tích phân |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan (x) + C |
| 1 / sqrt (1 - x^2) | arcsin (x) + C |
Các kỹ thuật mà công cụ thử nghiệm, theo thứ tự
- Các quy tắc cơ bản — lũy thừa, hàm mũ, lượng giác.
- Thay thế (u-sub) — tìm một hàm và đạo hàm của nó trong biểu thức tích phân.
- Tích hợp theo từng phần —
∫u dv = uv - ∫v du, dành cho các sản phẩm thuộc các loại chức năng khác nhau. - Các phân số riêng phần – dành cho các hàm tích phân hữu tỉ
P(x)/Q(x)vàdeg(P) < deg(Q). - Các công thức lượng giác – dành cho tích của sin và cosin.
- Phương pháp tích phân số – Phương pháp Gauss-Kronrod dùng cho các tích phân xác định khi không tồn tại dạng giải đóng.
ký hiệu tích phân xác định
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Định lý cơ bản cho rằng: nếu F là hàm vi phân ngược của f thì tích phân xác định từ a đến b bằng F(b) - F(a). Công cụ sẽ tính trước F, sau đó thực hiện tính giá trị tại các giới hạn.
Các lỗi phổ biến
- Loại bỏ ký hiệu
+ C. Mọi tích phân vô định đều có hằng số tích phân; công cụ sẽ in ra giá trị này, nhưng học sinh viết tay thường quên mất. – Các giới hạn sai đối với tích phân không hợp lệ:∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, nhưng không phải∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π); luôn kiểm tra tính hội tụ. – Sử dụng arctan thay vì arctanh khi tử số có dạng(x-a)(x-b)với các căn thực; đây là một giá trị logarit, chứ không phải arctan. – Bỏ quên quy tắc chuỗi trong thay thế bằng biến số u: Nếu làu = 3xthì phải làdu = 3 dx, chứ không phảidu = dx.
Khi không có dạng đóng
Một số tích phân đơn giản không có đạo hàm ngược cơ bản — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Tuy nhiên, trong một khoảng xác định, chúng vẫn có giá trị số mà công cụ tính toán với độ chính xác cao.
Câu hỏi thường gặp
Đối với tích phân xác định, công cụ sẽ sử dụng phương pháp tích phân số (Gauss-Kronrod) và trả về giá trị cùng với ước lượng sai số. Đối với tích phân không xác định mà không có hàm ngược cơ bản, công cụ sẽ báo cáo điều này và cung cấp dạng triển khai chuỗi như một phương án thay thế.
Đúng vậy. Hãy bao quanh biểu thức để làm rõ biến, ví dụ như integrate(t^2, t). Bất kỳ biến chỉ gồm một chữ cái nào cũng đều được chấp nhận.
Đúng vậy. Khi bật/tắt tùy chọn “hiển thị các bước”, công cụ sẽ in ra lần lượt từng dòng kết quả thay thế, lựa chọn các bộ phận hoặc phân tích thành các phân số riêng biệt mà nó đã sử dụng.
Đúng vậy, nhưng bạn có thể cần chia khoảng thời gian tại các điểm cắt bằng không để thu được kết quả rõ ràng và chính xác hơn. Công cụ xử lý dữ liệu \|x\| bằng cách tự động nhận diện dấu của các giá trị khi có thể.