Máy tính RREF

Ma trận bậc thang rút gọn là gì

Một ma trận ở dạng bậc thang rút gọn khi phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi hàng khác 0 là 1, vị trí số 1 dẫn đầu của hàng dưới nằm bên phải vị trí ở hàng trên, mọi phần tử khác trong cột chứa số 1 dẫn đầu đều bằng 0 và các hàng toàn 0 nằm dưới cùng. Các số 1 dẫn đầu này là phần tử trụ.

RREF biểu diễn cấu trúc số của ma trận theo một dạng nhất quán. Các cột chứa phần tử trụ là cột trụ, còn các cột khác là cột tự do. Hạng bằng số phần tử trụ. Với ma trận có n cột, số chiều không gian không được báo cáo ở đây bằng n trừ hạng và cũng bằng số cột tự do.

Công cụ đánh số cột từ 1. Nếu kết quả ghi cột trụ 1 và 3, đó là cột thứ nhất và thứ ba của ma trận đã nhập.

Các phép biến đổi hàng được hiển thị

Máy tính sử dụng ba loại phép biến đổi sơ cấp trên hàng tiêu chuẩn:

• Đổi chỗ hai hàng.
• Nhân một hàng với một số khác 0.
• Thay một hàng bằng chính hàng đó trừ đi một bội của hàng khác.

Tại mỗi cột trụ, công cụ chọn hàng còn lại có trị tuyệt đối của ứng viên phần tử trụ lớn nhất. Cách chọn trụ từng phần này giúp tránh chia cho một giá trị nhỏ hơn khi có lựa chọn lớn hơn. Hàng được chọn được đưa vào vị trí, phần tử trụ được đưa về 1, rồi các phần tử trên và dưới nó bị khử. Mỗi ảnh chụp ma trận sau phép biến đổi đều xuất hiện trong danh sách bước.

Những chuỗi phép biến đổi hàng hợp lệ có thể khác nhau ở các bước trung gian. Dạng bậc thang rút gọn cuối cùng vẫn giống nhau, ngoại trừ sai khác rất nhỏ do số học với độ chính xác hữu hạn.

Ví dụ bằng số

Với ma trận mặc định

dạng bậc thang rút gọn là

Có hai phần tử trụ ở cột 1 và 3 nên hạng bằng 2. Cột 2 là cột tự do và số chiều không gian không bằng 3 - 2 = 1. Máy tính hiển thị đúng chuỗi biến đổi hàng đã dùng để đạt kết quả, chứ không chỉ đưa ra ma trận cuối.

Hạng, số chiều không gian không, cột trụ và cột tự do

Hạng đếm số vị trí trụ trong ma trận rút gọn. Đây là số chiều của không gian cột của ma trận và cũng bằng số hàng khác 0 trong RREF.

Số chiều không gian không là chiều của không gian nghiệm của Ax = 0. Với ma trận m × n có hạng r, ta có quan hệ:

hạng + số chiều không gian không = số cột, hay r + số chiều không gian không = n.

Máy tính xác định các giá trị này trực tiếp từ phép rút gọn số. Ma trận không có cột tự do sẽ có số chiều không gian không bằng 0. Ma trận rộng có thể có nhiều cột tự do, còn ma trận có hàng phụ thuộc hoặc hàng 0 có thể có hạng nhỏ hơn số hàng.

Quy tắc nhập và dung sai số

Nhập một hàng ma trận trên mỗi dòng. Trên trang tiếng Việt, hãy ngăn cách phần tử bằng khoảng trắng, dấu chấm phẩy hoặc dấu gạch đứng vì dấu phẩy được dùng làm dấu thập phân. Dòng trống bị bỏ qua, nhưng mọi dòng không trống phải có cùng số phần tử. Có thể dùng số nguyên, số thập phân hoặc ký hiệu khoa học như 2,5e-3. Mỗi giá trị phải hữu hạn và nằm trong khoảng từ -1.000.000 đến 1.000.000.

Máy tính sử dụng số học dấu phẩy động. Trong quá trình rút gọn, giá trị có độ lớn tuyệt đối dưới 1e-10 được coi là 0. Dung sai này ngăn phần dư làm tròn rất nhỏ xuất hiện như phần tử trụ giả, nhưng ma trận gần suy biến nên được kiểm tra theo yêu cầu độ chính xác của môn học hoặc ứng dụng của bạn.

Những việc máy tính này không thực hiện

Đây là công cụ rút gọn ma trận số, không phải hệ đại số ký hiệu. Công cụ không nhận biến, phân số viết dưới dạng biểu thức, căn thức hay công thức. Công cụ không tính định thức hoặc ma trận nghịch đảo, không tạo lời giải tham số, không chuyển hàng thành phương trình và không kết luận tính tương thích của một hệ được mô tả riêng.

Bạn có thể nhập ma trận mở rộng bằng số để xem phép biến đổi hàng, nhưng công cụ coi mọi cột là một phần của cùng một ma trận. Nó không nhận biết ranh giới phần mở rộng và không diễn giải cột cuối là hằng số. Hãy dùng RREF cùng thông tin cột được hiển thị, sau đó áp dụng quy ước của bài toán đại số tuyến tính của bạn.