Bộ tính toán hồi quy tuyến tính

Với N điểm dữ liệu (x_i, y_i), hệ số góc và điểm cắt của phương trình bình phương tối thiểu thông thường là:

m = Σ((x_i − x̄)(y_i − ȳ)) / Σ((x_i − x̄)²)
b = ȳ − m · x̄

R² – hệ số quyết định – là tỷ lệ phần biến thiên của giá trị y được giải thích bởi biến x:

R² = 1 − SS_res / SS_tot

Trong đó SS_res là tổng bình phương các dư số và SS_tot là tổng bình phương các sai lệch của y so với giá trị trung bình của nó. Hệ số tương quan Pearson r bằng ±√R², mang cùng dấu với hệ số góc.

Ví dụ minh họa

Năm điểm dữ liệu:

x = 3, y = 4,2. Tử số của hiệp phương sai = (1 – 3)(2 – 4,2) + (2 – 3)(4 – 4,2) + (3 – 3)(5 – 4,2) + (4 – 3)(4 – 4,2) + (5 – 3)(6 – 4,2) = 4,4 + 0,2 + 0 – 0,2 + 3,6 = 8,0. Tử số của phương sai x = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10.

• Hệ số góc m = 8,0 / 10 = 0,8
• Điểm cắt b = 4,2 − 0,8 × 3 = 1,8
• Phương trình: y = 0,8x + 1,8
• R² ≈ 0,727

Những gì các con số có thể (và không thể) cho bạn biết

• Hệ số góc m trả lời “y thay đổi bao nhiêu trên mỗi đơn vị x”. Đơn vị của nó là y/x.
• Điểm cắt b trả lời câu hỏi “y bằng bao nhiêu khi x bằng 0”. Giá trị này chỉ có ý nghĩa nếu giá trị x = 0 phù hợp với dữ liệu của bạn.
• R² đo lường chất lượng phù hợp chứ không phải mối quan hệ nhân quả. Một giá trị R² cao trên dữ liệu thay thế không chứa nhiễu vẫn có thể không mang ý nghĩa thực tế.
• Hệ số tương quan Pearson (r) phản ánh mối liên hệ tuyến tính. Giá trị r gần bằng 0 dù mối quan hệ có dạng cong rõ rệt vẫn cho thấy “không có sự phù hợp tuyến tính”, chứ không phải “không có mối quan hệ nào”.

Những điểm cần lưu ý

• Các giá trị ngoại lai làm méo nghiêm trọng kết quả khớp của phương pháp OLS do hàm mất mát được tính theo bình phương; chỉ một điểm lệch duy nhất cũng có thể làm đường thẳng lệch đi tới 20 độ.
• Tính phi tuyến không thể được xác định chỉ bằng giá trị R²; luôn phải vẽ biểu đồ các giá trị dư so với biến x.
• Phép hồi quy không đối xứng: việc khớp giá trị y theo biến x sẽ cho ra đường thẳng khác với việc khớp giá trị x theo biến y.
• Việc ngoại suy vượt ra ngoài phạm vi dữ liệu của bạn chỉ là suy đoán; phép khớp chỉ biết đến phạm vi mà nó đã quan sát được.