Softonic

Máy tính giới hạn

Bước 1 / 3 Giá trị giới hạn
Tiếp theo

Giới hạn của một hàm số f(x) khi x tiến tới một điểm a mô tả giá trị mà f(x) hướng tới, dù f(a) có tồn tại hay không. Máy tính này tính giới hạn theo cả số và ký hiệu cho đa thức, phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit, kể cả các điểm tại ±∞, và cho bạn biết khi nào giới hạn hai phía không tồn tại vì giá trị trái và phải không khớp nhau.

Cách tính một giới hạn

  1. 1

    Chọn họ hàm số

    Đa thức, phân thức, lượng giác (sin/cos/tan), hàm mũ, logarit hoặc kết hợp.

  2. 2

    Nhập điểm giới hạn a

    Một số thực, hoặc dùng ∞ / -∞ cho giới hạn tại các cực trị.

  3. 3

    Chọn một hướng

    Hai phía (cả hai), trái (a⁻) hoặc phải (a⁺).

  4. 4

    Đọc kết quả số

    Nếu trái và phải không khớp, giới hạn hai phía không tồn tại.

Khi nào giới hạn ngoan ngoãn và khi nào thì không

Hầu hết bài toán giải tích năm nhất dựa vào ba kỹ thuật: thế trực tiếp, rút gọn đại số, và quy tắc L’Hôpital. Máy tính áp dụng chúng theo thứ tự đó và lùi về một ước lượng số khi thao tác ký hiệu thất bại.

Các kết quả kinh điển đáng thuộc lòng

Giới hạn Giá trị
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (đa thức)/eˣ 0

Khi giới hạn hai phía thất bại

Ba dạng gây ra “không tồn tại”:

  • Gián đoạn nhảy. f(x) = sign(x) tại x = 0: trái → -1, phải → +1.
  • Tiệm cận đứng với dấu trái ngược. f(x) = 1/x tại x = 0: trái → -∞, phải → +∞.
  • Dao động. f(x) = sin(1/x) tại x = 0: các giá trị dao động giữa -1 và 1 ở mọi mức gần điểm tùy ý.

Giới hạn một phía có thể tồn tại ở nơi giới hạn hai phía không tồn tại. Máy tính báo cáo từng phía riêng để bạn thấy được sự phân kỳ.

Quy tắc L’Hôpital: dùng cẩn thận

Khi một phép thế cho 0/0 hoặc ∞/∞, đạo hàm riêng tử số và mẫu số thường giải quyết được. Nhưng quy tắc đòi hỏi:

  • Cả hai giới hạn (của tử số và mẫu số) phải thực sự là 0 hoặc cả hai là ∞.
  • Tỷ số đạo hàm tự nó phải có một giới hạn.
  • Các hàm số phải khả vi gần điểm đó.

Áp dụng sai L’Hôpital cho một dạng không phải bất định sẽ cho đáp án sai. Luôn xác nhận dạng trước.

Số học so với ký hiệu

Máy tính dùng số học chính xác cho các dạng đại số đơn giản (đa thức, phân thức). Với các biểu thức siêu việt, nó tính giá trị hàm tại một dãy điểm tiến tới a và báo cáo giá trị hội tụ tới 8 chữ số thập phân. Nếu dãy không hội tụ, kết quả được đánh dấu là bất định.

Câu hỏi thường gặp

Giá trị mà f(x) tiến tới khi x đến chỉ từ một phía của a. Phía trái (x → a⁻) dùng các giá trị nhỏ hơn a; phía phải (x → a⁺) dùng các giá trị lớn hơn. Giới hạn hai phía chỉ tồn tại khi cả hai khớp nhau.

Có, nhập ∞ hoặc -∞ làm điểm giới hạn. Với phân thức, nó so sánh bậc; với hàm mũ và logarit, nó dùng các thứ hạng tiệm cận tiêu chuẩn.

Hàm số không ổn định về một giá trị hữu hạn duy nhất khi x tiến tới điểm đó. Điều này có thể xảy ra vì các giá trị tiến tới vô cực, vì trái và phải không khớp, hoặc vì các giá trị dao động không hội tụ.

Không. Các biểu thức bạn nhập được phân tích và tính trong trình duyệt của bạn và không có gì được gửi đi đâu cả.

Công cụ liên quan

Máy tính RREF

Tìm ma trận bậc thang rút gọn của ma trận số. Xem phép biến đổi hàng, hạng, số chiều không gian không, cột trụ và cột tự do cho ma trận đến 8 × 8.

Máy tính dự đoán chiều cao khi trưởng thành

Nhận ước tính gần đúng về chiều cao khi trưởng thành từ chiều cao của bố mẹ ruột. Công cụ này không chẩn đoán bệnh.

Công cụ tính tỷ số nén

Tính tỷ số nén của động cơ từ đường kính xi-lanh, hành trình và thể tích buồng đốt. Nhận kết quả dạng X,X:1 cùng thể tích quét mỗi xi-lanh, ngay trên trình duyệt của bạn.

Máy tính cổ tức

Ước tính thu nhập cổ tức hằng năm, lợi suất cổ tức và tăng trưởng tái đầu tư từ số cổ phiếu, giá và cổ tức mỗi cổ phiếu.

Máy tính tuổi

Tính tuổi chính xác theo năm, tháng và ngày từ ngày sinh, kèm tổng số ngày, giờ và đếm ngược đến sinh nhật kế tiếp.

Máy tính eGFR

Ước tính eGFR từ creatinin huyết thanh, tuổi và giới tính bằng phương trình creatinin CKD-EPI 2021 không dùng yếu tố chủng tộc. Kết quả theo mL/phút/1,73 m².

Công cụ này có phiên bản bằng các ngôn ngữ khác