Máy tính cấp số nhân

Các công thức

Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng bằng số hạng liền trước nhân với công bội r. Bắt đầu từ số hạng đầu a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Tổng của n số hạng đầu (tổng riêng phần) là:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) với r ≠ 1

Khi công bội đúng bằng 1, mọi số hạng đều bằng nhau, nên tổng đơn giản là Sₙ = n · a₁. Nếu công bội nằm hoàn toàn giữa −1 và 1, tổng vô hạn hội tụ về a₁ / (1 − r).

Ví dụ giải mẫu

Lấy a₁ = 2 và r = 3, rồi yêu cầu n = 5 số hạng.

• Dãy: 2, 6, 18, 54, 162
• Số hạng thứ 5: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
• Tổng: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Mỗi số hạng đúng bằng 3 lần số hạng trước, và năm số hạng cộng lại bằng 242.

Số hạng và tổng riêng phần nhìn thoáng qua

Những lỗi thường gặp

• Lệch một đơn vị ở số mũ. Số hạng thứ n dùng r^(n−1), không phải rⁿ: số hạng đầu chưa được nhân với công bội lần nào.
• Công bội bằng 1. Nếu thay r = 1 vào công thức tổng chính, bạn sẽ chia cho 0. Hãy dùng Sₙ = n · a₁ thay vào đó; công cụ này tự động chuyển đổi.
• Cấp số nhân hay cấp số cộng. Cấp số nhân nhân với một công bội cố định; cấp số cộng cộng thêm một công sai cố định. Nhầm lẫn hai loại sẽ cho ra các số hạng sai hoàn toàn.
• Công bội âm. Công bội như −2 làm dấu của các số hạng đổi luân phiên (2, −4, 8, −16, …); điều này hợp lệ và máy tính xử lý được.

Cấp số nhân xuất hiện ở đâu

Cấp số nhân mô hình hóa mọi thứ tăng hoặc giảm theo một tỷ lệ phần trăm không đổi ở mỗi bước. Lãi kép nhân số dư với cùng một hệ số ở mỗi kỳ, nên các số dư tạo thành một cấp số nhân. Tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ đo bằng chu kỳ bán rã, độ cao nảy của quả bóng được thả rơi và khấu hao hằng năm của một tài sản đều tuân theo cùng một quy luật. Nhận ra công bội trong dữ liệu thực tế cho phép bạn dự đoán giá trị tiếp theo, ước lượng một tổng lũy tiến, hoặc đánh giá xem công thức tổng vô hạn hội tụ có áp dụng được không khi công bội nằm giữa −1 và 1.