Máy tính giai thừa

Giai thừa tăng nhanh hơn bất kỳ hàm mũ nào. Dưới đây là bảng tra cứu thường dùng, cho thấy giá trị bùng nổ nhanh đến mức nào và điểm mà độ chính xác kép IEEE-754 chạm giới hạn.

Các giá trị nhỏ

Giới hạn tràn số

• Số nguyên có dấu 32 bit: tràn tại 13! (giá trị lớn nhất khoảng 2,1 tỷ; 12! = 479.001.600 là giá trị cuối cùng còn vừa, còn 13! = 6.227.020.800 thì không còn vừa).
• Số nguyên có dấu 64 bit: tràn tại 21! (20! là giá trị cuối cùng còn vừa).
• IEEE-754 double: trở nên không chính xác kể từ 22!; 170! là số double hữu hạn lớn nhất.

Xấp xỉ Stirling

Đối với n lớn, Stirling cho một ước lượng dạng đóng hữu ích:

n! ≈ √(2πn) · (n/e)^n

Với n = 100, Stirling trả về 9,3248 × 10^157, sai lệch chưa tới 0,1% so với giá trị 100! chính xác. Hãy dùng nó khi không cần một số nguyên chính xác và bạn chỉ cần lập luận về bậc độ lớn.

Các ứng dụng phổ biến

• Hoán vị: số cách sắp xếp có thứ tự của n phần tử khác nhau = n!.
• Tổ hợp: C(n, k) = n! / (k! (n - k)!).
• Xác suất: mẫu số của nhiều phân phối rời rạc.
• Chuỗi: khai triển Taylor, trong đó các hệ số chứa số hạng giai thừa.

Các trường hợp biên

• 0! = 1 theo quy ước (tích rỗng). Đây không phải một giới hạn mà là một định nghĩa giúp các công thức tổ hợp nhất quán.
• Số nguyên âm và số không nguyên không có giai thừa theo nghĩa sơ cấp; hàm Gamma mở rộng ý tưởng này: Γ(n+1) = n! với số nguyên không âm.