Máy tính tích vô hướng

Hai công thức

Dạng thành phần cho các vectơ a = (a1, a2, ..., an) và b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Dạng hình học:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

Hai biểu thức này bằng nhau; khi đặt chúng bằng nhau, ta thu được cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|) – công thức độ tương đồng cosin.

Dấu của kết quả cho bạn biết điều gì

Ví dụ minh họa

a = (3, 4), b = (1, 2):

• Tích các thành phần: 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11
• |a| = √(9 + 16) = 5
• |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2,236
• cos(θ) = 11 / (5 × 2,236) = 0,9839
• θ = arccos(0,9839) ≈ 10,3 độ

Hai vectơ gần như chỉ về cùng một hướng, do đó tích vô hướng là số dương lớn.

Các ứng dụng phổ biến

• Độ tương đồng cosin trong các hệ thống đề xuất: hai vectơ nhúng (embedding) giống nhau đến mức nào?
• Phép chiếu một vectơ lên một vectơ khác: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
• Công trong vật lý: W = F . d, tích vô hướng của lực và độ dịch chuyển.
• Chiếu sáng trong đồ họa: tích vô hướng của pháp tuyến bề mặt và hướng ánh sáng cho ra độ sáng khuếch tán (định luật Lambert).
• Kiểm tra tính trực giao: nhanh chóng xác minh xem hai vectơ cơ sở có vuông góc với nhau hay không.

Mẹo nhỏ

• Hãy chuẩn hóa trước khi so sánh. Nếu bạn chỉ quan tâm đến hướng (độ tương đồng), hãy chia từng vectơ cho độ lớn của nó trước; khi đó tích vô hướng bằng trực tiếp giá trị cosin.
• Chú ý đến số chiều. Tích vô hướng của một vectơ 3 chiều với một vectơ 4 chiều là không xác định; hãy cố ý đệm thêm hoặc cắt bớt, chứ không phải do sơ suất.
• Độ ổn định số học. Với các vectơ rất lớn, việc tích lũy số thực dấu phẩy động có thể mất độ chính xác; khi số chiều vượt quá vài nghìn, hãy dùng độ chính xác kép hoặc phép cộng Kahan.