Phương pháp giải phương trình lập phương

Phương pháp Cardano đi theo một trong ba nhánh tùy thuộc vào dấu của biệt thức Δ = (q/2)² + (p/3)³. Hình học của đồ thị bậc ba phản ánh chính xác điều này.

Bảng các trường hợp

Ví dụ minh họa

Với phương trình x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (các hệ số lần lượt là 1, −6, 11, −6):

• Dịch chuyển −b/(3a) = 2 để thu được dạng rút gọn: p = −1, q = 0.
• Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, nên ta đi theo nhánh ba nghiệm thực (lượng giác).
• Công thức lượng giác cho ba nghiệm thực phân biệt x = 1, 2, 3.

Các yếu tố liên quan đến số học

• Sai số dấu phẩy động xuất hiện khi ba nghiệm nằm gần nhau (gần như nghiệm bội ba). Các nghiệm hiển thị có thể khác giá trị chính xác ở vài chữ số thập phân cuối cùng.
• Giá trị a rất nhỏ khiến b/(3a) trở nên lớn, chi phối quá trình tính toán và làm giảm độ chính xác. Nếu |a| nhỏ hơn khoảng 1e-12, hãy giải như một phương trình bậc hai.
• Hệ số nguyên cho kết quả gọn gàng nhất: các nghiệm hữu tỉ xuất hiện ở giá trị chính xác của chúng, sai lệch chỉ do làm tròn dấu phẩy động.

Các phương trình liên quan

• Bậc hai: ax² + bx + c = 0. Hãy dùng Bộ giải phương trình bậc hai – dạng đóng và đơn giản hơn.
• Bậc bốn: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Phương pháp Ferrari rút gọn về một phương trình bậc ba giải thức; không được đề cập ở đây.
• Phương trình bậc ba rút gọn: đặt b = 0 để bỏ qua bước dịch chuyển và nhập trực tiếp x³ + px + q = 0.