Máy tính tích có hướng

Công thức

Với các vectơ A = (ax, ay, az) và B = (bx, by, bz), tích có hướng là:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Mỗi thành phần là một định thức 2×2 của hai trục còn lại, với dấu của số hạng giữa bị đảo ngược. Một cách ghi nhớ tiện lợi là khai triển định thức theo các vectơ đơn vị i, j, k.

Ví dụ giải chi tiết

Lấy A = (1, 2, 3) và B = (4, 5, 6):

• x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
• y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
• z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Vậy A × B = (−3, 6, −3). Độ lớn của nó là √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Bạn có thể kiểm chứng rằng kết quả vuông góc: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Các tính chất chính

Lỗi thường gặp

• Thứ tự quan trọng. Hoán đổi các vectơ sẽ đảo dấu mọi thành phần, vì tích có hướng có tính phản giao hoán.
• Tích có hướng chỉ tồn tại trong 3D. Khác với tích vô hướng, A × B được định nghĩa cho vectơ ba chiều (có một dạng tương tự trong 7D nhưng hiếm khi dùng). Với vectơ 2D, hãy bổ sung thành phần z còn thiếu bằng 0.
• Dấu của số hạng giữa. Thành phần y là az·bx − ax·bz, không phải ax·bz − az·bx: số hạng j bị trừ trong khai triển định thức, và đây chính là nơi xảy ra hầu hết lỗi khi tính bằng tay.
• Vectơ song song cho kết quả bằng không. Nếu A và B cùng hướng (θ = 0) thì kết quả là vectơ không, vì sin(0) = 0.