Bộ tính hệ số tương quan

Công thức

r = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / √(Σ(xᵢ - x̄)² × Σ(yᵢ - ȳ)²)

Tương đương với: r = cov(X, Y) / (σ_X × σ_Y). Đây là hàm hiệp phương sai đã được chuẩn hóa bằng tích các độ lệch chuẩn, nhằm đảm bảo giá trị kết quả nằm trong khoảng [-1, +1].

Giải thích về r

r² (hệ số quyết định) là tỷ lệ phần biến thiên của biến Y được mô hình tuyến tính dựa trên biến X giải thích được. Giá trị r = 0,7 tương ứng với r² = 0,49 – nghĩa là khoảng một nửa biến thiên có thể được giải thích bằng mô hình tuyến tính, còn lại một nửa không.

Khi Pearson là công cụ không phù hợp

Pearson giả định một mối quan hệ tuyến tính với dữ liệu gần như chuẩn và không có các giá trị ngoại lai lớn. Phương pháp này hoạt động kém hiệu quả trong các trường hợp sau:

• Các mối quan hệ cong: phương trình y = x² trong khoảng [-5, 5] có hệ số tương quan r = 0, mặc dù kết quả hoàn toàn có thể dự đoán được.
• Các giá trị ngoại lai: một điểm nằm cách trung bình 5 độ lệch chuẩn có thể làm tăng gấp đôi hoặc giảm một nửa giá trị r.
• Dữ liệu thứ hạng: hãy sử dụng hệ số tương quan ρ của Spearman (tương quan giữa các thứ hạng).
• Dữ liệu nhị phân hoặc phân loại: sử dụng tương quan điểm-nhị phân (point-biserial), hệ số phi hoặc V của Cramér tùy theo loại dữ liệu.

Tương quan không đồng nghĩa với nhân quả – nguyên lý kinh điển

Hai biến có thể có mối tương quan mạnh vì:

1. X gây ra Y.
2. Y gây ra X.
3. Biến thứ ba Z gây ra cả hai hiện tượng (là yếu tố gây nhiễu).
4. Thuần túy ngẫu nhiên (trong các mẫu nhỏ).
5. Định hướng chọn mẫu trong cách thu thập dữ liệu.

Doanh số bán kem và số ca tử vong do đuối nước có mối tương quan dương là 0,8 trong các tháng mùa hè. Kem không phải là nguyên nhân gây đuối nước; thời tiết nóng mới là yếu tố dẫn đến cả hai hiện tượng này.

Kích thước mẫu và ý nghĩa thống kê

Giá trị r với mẫu nhỏ có thể gây hiểu lầm. Khi n = 5, giá trị r = 0,5 không khác biệt đáng kể về mặt thống kê so với 0 (p ≈ 0,4); khi n = 100, giá trị r = 0,2 rõ ràng không bằng 0 (p < 0,05). Luôn cần ghi rõ kích thước mẫu cùng với giá trị r. Giá trị p của r dùng để kiểm định giả thuyết không rằng hệ số tương quan thực sự bằng 0.