Bộ tính căn bậc hai
Nhập một số dương và máy tính sẽ trả về căn bậc hai của số đó dưới dạng thập phân với độ chính xác đến 15 chữ số; khi có thể, nó cũng hiển thị dạng căn đơn giản chính xác — ví dụ: √72 được biểu diễn là 6√2, √200 được biểu diễn là 10√2. Với các số vuông hoàn hảo, kết quả là một số nguyên; với các số âm, kết quả sẽ được biểu diễn theo ký hiệu i sau khi loại bỏ đơn vị hình ảnh.
Cách tính toán gốc
-
1
Nhập số căn
Số nằm dưới dấu căn bậc hai: dương, âm hoặc bằng không.
-
2
Định dạng số thập phân
Tính toán bằng lệnh lấy căn bậc hai theo tiêu chuẩn IEEE 754 — có độ chính xác đến 15 chữ số đáng kể.
-
3
Dạng gốc đơn giản hóa
Tách các số chia là bình phương hoàn hảo ra khỏi biểu thức. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Hiển thị chức năng làm việc
Quá trình phân tích nhân tử từng bước được hiển thị để bạn có thể thực hiện lại thủ công.
Những số vuông hoàn hảo cần biết
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Giảm bớt các phép tính với số vuông không hoàn hảo
Bí quyết là tìm ra nhân tố bậc hai hoàn hảo lớn nhất:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Nếu kết quả vẫn còn chứa số thừa không là bình phương, hãy lặp lại: √180 = √(36 × 5) = 6√5, chứ không phải √(4 × 45) = 2√45 (vì chưa được đơn giản hóa hoàn toàn).
Các giá trị thập phân thông dụng
- √2 ≈ 1,41421 (Pythagoras trong một ô vuông đơn vị)
- √3 ≈ 1,73205 (đường chéo của một khối lập phương)
- √5 ≈ 2,23607 (xuất hiện trong tỷ số vàng (1 + √5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1,77245 (sử dụng trong thống kê và các tích phân Gauss)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31,6228 (mỗi lần nhân 10 lần sẽ làm giá trị của √ tăng khoảng 3,16 lần)
Số âm và số hình ảnh
Giác căn của một số âm không được định nghĩa trong số thực. Trong số phức, √(−x) = i√x với x dương; do đó √(−4) = 2i. Máy tính sẽ hiển thị giá trị dưới dạng số hình ảnh thay vì dạng thập phân khi nhận giá trị âm.
Căn bậc hai so với căn bậc n
Máy tính có thể tính các căn bậc hai của số. Đối với căn bậc ba, căn bậc bốn và các bậc khác, hãy sử dụng công cụ căn bậc n thông thường. Các định thức cơ bản sau đây cần lưu ý:
- √(ab) = √a × √b (chỉ khi a và b đều không âm)
- √(a/b) = √a / √b (chỉ khi b > 0)
- (√a)² = a (chỉ khi a ≥ 0)
Điểm chỉ hướng lịch sử
Biểu tượng căn √ bắt nguồn từ chữ cái r (dùng để chỉ radix; trong tiếng Latinh là “root”) vào thế kỷ 16. Vạch ngang (vinculum) được thêm vào thế kỷ 17 nhằm phân định phần nằm dưới gốc.
Câu hỏi thường gặp
Mỗi số dương đều có hai căn bậc hai: +x và −x. Căn chính (căn không âm) chính là thứ mà biểu thức √ thường được dùng để chỉ. Các phương trình bậc hai sử dụng cả hai loại căn này.
Theo thông lệ, giá trị này chỉ là 5. Hàm √ trả về căn chính (không âm). Khi giải phương trình x² = 25, cả 5 và −5 đều thỏa mãn phương trình; do đó, ta viết x = ±5.
Các phương pháp lịch sử bao gồm: thuật toán chia dài từng chữ số; phương pháp Newton (lặp lại: x_new = (x + a/x)/2); hoặc phương pháp phân tích nhân tố và rút gọn để tìm căn của các số giàu bình phương hoàn hảo. Phương pháp Newton hội tụ rất nhanh – chỉ sau ba lần lặp đã đạt độ chính xác đến 10 chữ số đối với hầu hết các giá trị đầu vào.
Người Hy Lạp đã chứng minh điều này bằng phương pháp mâu thuẫn: nếu √2 = p/q trong dạng số thấp nhất thì 2q² = p², do đó p là số chẵn và thỏa mãn p = 2k; từ đó 2q² = 4k², nghĩa là q² cũng là số chẵn – điều này mâu thuẫn với giả thuyết lowest terms. Do đó, √2 không thể là một phân số mà phải là số vô lý.