Máy tính giá trị riêng

Công thức cho ma trận 2×2

Với A = [[a, b], [c, d]], các giá trị riêng là nghiệm của:

det(A - λI) = 0

Khai triển định thức đó, ta được:

λ² - Tλ + D = 0

Trong đó:

• T = a + d là vết của ma trận.
• D = ad - bc là định thức.
• Δ = T² - 4D là biệt thức.

Khi đó:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Ví dụ giải mẫu

Với A = [[2, 1], [1, 2]], vết là T = 2 + 2 = 4 và định thức là D = 2·2 - 1·1 = 3. Đa thức đặc trưng là:

λ² - 4λ + 3 = 0

Biệt thức là Δ = 4² - 4·3 = 4, nên các giá trị riêng là:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Với giá trị riêng 3, một vectơ riêng là [1, 1]. Với giá trị riêng 1, một vectơ riêng là [1, -1]. Mọi bội vô hướng khác 0 của các vectơ đó cũng là vectơ riêng hợp lệ.

Ý nghĩa của biệt thức

Lỗi thường gặp

• Viết sai A - λI. Chỉ các phần tử trên đường chéo thay đổi: a - λ và d - λ.
• Quên dấu trong định thức. Với ma trận 2×2, D = ad - bc, không phải ad + bc.
• Mặc định giá trị riêng kép là chéo hóa được. Nghiệm kép vẫn cần đủ số vectơ riêng độc lập tuyến tính.
• Làm tròn quá sớm. Hãy giữ vết, định thức và biệt thức ở dạng chính xác lâu nhất có thể, nhất là khi có số thập phân.