Giải bài toán hình thoi kim cương

Mọi hình thoi kim cương đều tuân theo hai quy tắc: a + b = tổng và a × b = tích. Hai giá trị bạn đã biết quyết định phương pháp.

Tích và tổng: trường hợp khó

Khi chỉ biết tích và tổng, a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² − (tổng)x + tích = 0. Biệt thức tổng² − 4 × tích cho biết điều gì xảy ra:

• Dương và là số chính phương (7² − 4 × 12 = 1): hai đáp án nguyên, ở đây là 3 và 4.
• Dương nhưng không phải số chính phương (3² − 4 × 1 = 5): hai đáp án thực không phải số nguyên, ở đây xấp xỉ 0,382 và 2,618. Trong chế độ số nguyên, công cụ báo rằng không có số nguyên nào thỏa mãn.
• Bằng không (2² − 4 × 1 = 0): nghiệm kép, hai số bằng nhau (1 và 1).
• Âm (2² − 4 × 10 = −36): không tồn tại cặp số thực. Hai số là một cặp số phức liên hợp, ở đây là 1 + 3i và 1 − 3i, và công cụ nói rõ điều đó thay vì báo lỗi.

Ví dụ có lời giải

• Tích 12, tổng 7: a = 3, b = 4.
• Tích −12, tổng 1: a = −3, b = 4.
• a = 4, tích −20: b = −5, tổng −1.
• Tích 6, tổng 5 trong chế độ số nguyên: a = 2, b = 3.

Dùng hình thoi để phân tích thành nhân tử

Với x² + 7x + 12, hãy ghi 12 (hệ số tự do nhân với hệ số cao nhất) ở trên và 7 ở dưới. Hai giá trị bên trái và bên phải, 3 và 4, cho ra các nhân tử (x + 3)(x + 4). Khi hệ số cao nhất không bằng 1, hãy ghi tích của hệ số cao nhất và hệ số tự do ở trên, rồi dùng hai số đó để tách hạng tử ở giữa.