Máy tính hiệp phương sai

Công thức

Hiệp phương sai mẫu: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)

Hiệp phương sai tổng thể: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n

Số chia n - 1 (hiệu chỉnh Bessel) khiến hiệp phương sai mẫu trở thành ước lượng không chệch của hiệp phương sai tổng thể. Phần mềm thống kê mặc định dùng phiên bản mẫu.

Điều quan trọng chính là dấu

Độ lớn phụ thuộc vào đơn vị: với người trưởng thành, cov(chiều_cao_cm, cân_nặng_kg) khoảng +70, nhưng nếu đổi chiều cao sang mét thì giảm còn +0,7, cùng một mối quan hệ nhưng con số khác nhau. Đó là lý do hệ số tương quan thường được báo cáo nhiều hơn.

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

hệ số tương quan = hiệp phương sai / (σ_X × σ_Y)

Hệ số tương quan là phiên bản không đơn vị, luôn nằm trong khoảng [-1, +1] và có thể so sánh giữa các tập dữ liệu. Hiệp phương sai chủ yếu hữu ích bên trong các công thức (phương sai danh mục đầu tư, hồi quy, PCA) hơn là dùng như một thống kê tóm tắt.

Nơi hiệp phương sai được dùng trực tiếp

• Lý thuyết danh mục đầu tư: phương sai danh mục = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Bạn cần hiệp phương sai chứ không phải hệ số tương quan, vì trọng số và phương sai mới là yếu tố quan trọng.
• Hồi quy tuyến tính: ước lượng độ dốc β = cov(X, Y) / var(X).
• Phân tích thành phần chính (PCA): cái được chéo hóa chính là ma trận hiệp phương sai.
• Xử lý tín hiệu: hiệp phương sai chéo đo độ tương đồng giữa các tín hiệu ở những độ trễ khác nhau.

Lỗi thường gặp

• Nhầm lẫn giữa n và n−1: trên tập dữ liệu nhỏ, hiệp phương sai mẫu và tổng thể có thể chênh nhau vài phần trăm và gây ra vấn đề về khả năng lặp lại. Hãy quyết định loại nào bạn cần và ghi rõ điều đó.
• Diễn giải độ lớn: hiệp phương sai bằng 50 tự nó không phải là “lớn”; nó hoàn toàn phụ thuộc vào đơn vị và phương sai của X và Y.
• Coi hiệp phương sai bằng không là độc lập: hiệp phương sai bằng không chỉ có nghĩa là không có quan hệ tuyến tính. Hai biến có thể có hiệp phương sai bằng 0 mà vẫn dự đoán được hoàn toàn theo cách phi tuyến (ví dụ Y = X² khi X đối xứng).