Máy tính hoàn thành bình phương

Ví dụ minh họa: 2x² + 8x + 5

Bước 1, đặt a = 2 làm thừa số chung của các số hạng chứa x: 2(x² + 4x) + 5

Bước 2, một nửa của 4 là 2, bình phương lên là 4. Cộng và trừ 4 bên trong: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5

Bước 3, tách thành bình phương đúng và phần còn lại: 2((x + 2)² − 4) + 5

Bước 4, phân phối 2: 2(x + 2)² − 8 + 5

Bước 5, rút gọn hằng số: 2(x + 2)² − 3

Dạng đỉnh: a = 2, h = −2, k = −3 → đỉnh tại (−2, −3).

Công thức tổng quát

Với ax² + bx + c:

• h = −b / (2a)
• k = c − b² / (4a)
• Dạng đỉnh: a(x − h)² + k

Vì sao nên hoàn thành bình phương?

• Tìm đỉnh ngay lập tức để phác họa parabol.
• Giải phương trình bậc hai mà không cần công thức nghiệm, đặc biệt hữu ích với nghiệm vô tỉ.
• Tự suy ra chính công thức nghiệm: hoàn thành bình phương trên ax² + bx + c = 0 cho ra x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• Giải tích: tìm cực trị của tam thức bậc hai mà không cần lấy đạo hàm.
• Chuyển động ném vật: độ cao cực đại của một quả bóng ném lên chính là k trong dạng đỉnh của phương trình độ cao.
• Đường tròn và thiết diện cônic: hoàn thành bình phương trên cả số hạng x và y biến x² + y² + Dx + Ey + F = 0 thành (x−h)² + (y−k)² = r², làm tâm và bán kính trở nên rõ ràng.

Hình học parabol từ dạng đỉnh

• Đỉnh: (h, k).
• Trục đối xứng: x = h.
• Mở lên trên nếu a > 0, mở xuống dưới nếu a < 0.
• Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số: k.
• Độ rộng: hẹp hơn khi |a| > 1, rộng hơn khi |a| < 1.
• Nghiệm (nếu thực): x = h ± √(−k/a). Chỉ thực khi k/a ≤ 0.

Lỗi thường gặp

• Quên phân phối a sau khi hoàn thành bình phương bên trong dấu ngoặc. Số hạng điều chỉnh thay đổi.
• Sai dấu ở b/(2a): h = −b/(2a), không phải +b/(2a).
• Không chia đôi hệ số ở giữa trước khi bình phương. “Một nửa của b chia a, rồi bình phương” là câu kinh điển.
• Bỏ quên a ≠ 1: luôn đặt nó làm thừa số chung trước để đơn giản hóa.

Trường hợp đặc biệt: a = 1

Khi a = 1, quá trình đơn giản hơn:

• x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
• h = −b/2, k = c − b²/4

k âm nghĩa là có nghiệm thực

Nếu k trái dấu với a, parabol cắt trục x. Giải a(x − h)² = −k để tìm chúng.