Máy tính cấp số cộng

Các công thức của cấp số cộng

Cấp số cộng có khoảng cách không đổi, công sai d, giữa các số hạng liên tiếp. Hai công thức làm tất cả công việc:

số hạng thứ n:  a_n = a₁ + (n − 1) · d
tổng:           S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

Ở đây a₁ là số hạng đầu, d là lượng được cộng ở mỗi bước (có thể âm cho cấp số giảm) và n là số lượng số hạng bạn đang đếm. Công thức tổng chỉ đơn giản là trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối, nhân với số lượng số hạng.

Một ví dụ có lời giải

Lấy a₁ = 2 và d = 3. Cấp số là 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

Để tìm số hạng thứ 10:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

Để cộng 10 số hạng đầu:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

Vậy số hạng thứ 10 là 29 và tổng lũy kế là 155.

Số hạng, công sai và tổng riêng phần

Hãy lưu ý mỗi số hạng tăng đúng d = 3, dấu hiệu của một cấp số cộng (không phải cấp số nhân). Tổng riêng phần Sₙ tăng nhanh hơn chính các số hạng, vì mỗi bước cộng thêm toàn bộ đường lũy kế, chứ không chỉ giá trị cuối cùng.

Một phép kiểm tra nhanh: tổng bằng số lượng số hạng nhân với trung bình của số hạng đầu và số hạng cuối. Với n = 10 thì đó là 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, khớp chính xác với bảng.

Những lỗi thường gặp

• Lệch một đơn vị ở n. Công thức dùng (n − 1)·d, không phải n·d. Số hạng đầu không được cộng công sai nào, nên a₁ = 2, chứ không phải 5.
• Nhầm cấp số cộng với cấp số nhân. Cấp số cộng cộng thêm một công sai d cố định; cấp số nhân nhân với một công bội cố định. Nếu các khoảng cách cứ tăng gấp đôi, bạn cần một công cụ cấp số nhân thay thế.
• Công sai âm hoàn toàn được. Công sai d = −4 cho một cấp số giảm; vẫn áp dụng cùng các công thức đó.