Máy tính phân phối siêu bội

Ý nghĩa của phép tính

N là kích thước tổng thể, K là số phần tử thành công trong tổng thể, n là số phần tử được lấy và X là số lần thành công trong mẫu. Việc lấy mẫu không hoàn lại: một phần tử đã lấy sẽ không được lấy lần nữa.

Với kết quả đúng bằng k:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

Ở đây, C(a, b) là số cách chọn b phần tử từ a phần tử. Chỉ có thể đạt số lần thành công từ max(0, n - (N - K)) đến min(n, K). Kết quả đúng bằng nằm ngoài khoảng này có xác suất bằng 0, ngay cả khi k nằm giữa 0 và cỡ mẫu. Nhiều nhất k cộng các xác suất chính xác đến k; ít nhất k cộng từ k trở lên. Vì vậy, xác suất của biến cố tích lũy nằm ngoài khoảng khả thi có thể bằng 0 hoặc 1.

Ví dụ: lấy năm phần tử từ 20 phần tử

Giả sử một hộp có 20 phần tử, trong đó bảy phần tử được đánh dấu. Lấy năm phần tử không hoàn lại và tính xác suất có đúng hai phần tử được đánh dấu. Nhập N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 và chọn Đúng bằng k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

Tức khoảng 38,74%. Chọn Nhiều nhất k để được P(X ≤ 2) ≈ 0,793215, hoặc Ít nhất k để được P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Cả hai biến cố tích lũy đều bao gồm trường hợp đúng hai phần tử được đánh dấu.

Kỳ vọng, phương sai và sự khác biệt với phân phối nhị thức

Số lần thành công kỳ vọng là n × K / N. Khi N > 1, phương sai là n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); với N = 1, phương sai bằng 0. Thừa số cuối tính đến việc thành phần của tổng thể còn lại thay đổi sau mỗi lần lấy.

Tài liệu R về phân phối siêu bội mô tả hàm xác suất chính xác và hàm phân phối tích lũy tương ứng.

Dùng mô hình nhị thức khi các lần thử độc lập và có cùng xác suất thành công, chẳng hạn khi hoàn lại phần tử trước lần lấy tiếp theo. Dùng mô hình siêu bội cho một số lần lấy cố định từ tổng thể hữu hạn không hoàn lại. Máy tính nhận số nguyên và tính phân phối trong trình duyệt. Các bước hướng dẫn tạm lưu dữ liệu đầu vào trong thẻ này; khi mở thẻ khác hoặc phiên lưu trữ hết hạn, bạn có thể phải bắt đầu lại.

Với xác suất rất nhỏ nhưng khác 0, màn hình có thể hiện Nhỏ hơn 10^-300 vì số thập phân thông thường không thể hiển thị đầy đủ giá trị. Tệp CSV còn có logarit cơ số 10 của xác suất cho từng kết quả khả thi để bạn xem bậc độ lớn của nó.