Máy tính xác suất nhị thức

Công thức

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Trong đó C(n, k) là hệ số nhị thức, tức “số cách chọn k phần tử từ n phần tử”. Công cụ tính toán trong không gian logarit thông qua hàm gamma để tránh tràn số khi n lớn.

Ví dụ có lời giải: tung đồng xu 10 lần, đúng 7 mặt ngửa

• n = 10, p = 0.5, k = 7
• C(10, 7) = 120
• P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172

Vậy khoảng 11.7% số lần bạn sẽ thấy đúng 7 mặt ngửa trong 10 lần tung.

Khi nào dùng phân phối nhị thức

Cả bốn giả định Bernoulli phải đúng:

1. Số lần thử cố định (n được quyết định trước).
2. Mỗi lần thử độc lập với các lần khác.
3. Chỉ hai kết quả cho mỗi lần thử (thành công / thất bại).
4. Xác suất thành công p không đổi qua các lần thử.

Nếu bất kỳ giả định nào bị phá vỡ (rút phụ thuộc không hoàn lại, p thay đổi, nhiều hơn hai kết quả), hãy dùng phân phối siêu bội, Poisson-nhị thức hoặc đa thức thay thế.

Giá trị trung bình, phương sai và xấp xỉ chuẩn

• Giá trị trung bình: μ = np
• Phương sai: σ² = np(1-p)
• Độ lệch chuẩn: σ = √(np(1-p))

Khi np ≥ 10 và n(1-p) ≥ 10, phân phối nhị thức được xấp xỉ tốt bằng phân phối chuẩn Normal(μ, σ²) kèm hiệu chỉnh liên tục. Máy tính đánh dấu điều kiện này để bạn có thể chuyển sang lối tắt dùng điểm z khi phù hợp.